В теории множеств порядковым числом, или ординалом (лат. ordinalis — порядковый) называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. Как правило, порядковые числа отождествляются с наследственно транзитивными множествами. Ординалы представляют собой одно из расширений натуральных чисел, отличающееся как от целых, так и от кардинальных чисел. Как и другие разновидности чисел, их можно складывать, перемножать и возводить в степень. Бесконечные порядковые числа называют трансфинитными (лат. trans — за, через + finitio — край, предел). Ординалы играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств — в частности, благодаря связанному с ними принципу трансфинитной индукции.

Порядковые числа были введены Георгом Кантором в 1883 году как способ описания бесконечных последовательностей, а также классификации множеств, обладающих определённой упорядоченной структурой. Он случайно открыл порядковые числа, работая над задачей, связанной с тригонометрическими рядами.

Множества ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle S'}$ обладают одинаковой мощностью, если между ними можно установить биективное соответствие (то есть указать такую функцию ${\displaystyle f}$, которая одновременно является инъективной и сюръективной: каждому ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle S}$ соответствует единственное ${\displaystyle y=f(x)}$ из ${\displaystyle S'}$, а каждое ${\displaystyle y}$ из ${\displaystyle S'}$ является образом единственного ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle S}$).

Предположим, что на множествах ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle S'}$ заданы частичные порядки ${\displaystyle <}$ и ${\displaystyle <'}$ соответственно. Тогда частично упорядоченные множества ${\displaystyle (S,<)}$ и ${\displaystyle (S',<')}$ называются изоморфными с сохранением порядка, если существует биективное отображение ${\displaystyle f}$, при котором заданный порядок сохраняется. Иначе говоря, ${\displaystyle f(a)<'f(b)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a<b}$. Любое вполне упорядоченное множество ${\displaystyle (S,<)}$ изоморфно с сохранением порядка по отношению к естественно упорядоченному множеству порядковых чисел, меньших некоторого определённого ординала (равного порядковому типу ${\displaystyle (S,<)}$).

Конечные порядковые (и кардинальные) числа представляют собой числа натурального ряда: 0, 1, 2, …, поскольку два любых полных упорядочения конечного множества изоморфны с сохранением порядка. Наименьшее бесконечно большое порядковое число ${\displaystyle \omega }$ отождествляется с кардинальным числом ${\displaystyle \aleph _{0}}$. Однако в случае трансфинитных чисел, больших ${\displaystyle \omega }$, ординалы — по сравнению с кардинальными числами — позволяют выразить более тонкую классификацию множеств, основанную на информации об их упорядоченности. В то время как все счетные множества описываются одним кардинальным числом, равным ${\displaystyle \aleph _{0}}$, число счетных ординалов бесконечно велико и притом несчетно:

${\displaystyle \omega ,\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\dots ,\omega ^{2},\dots ,\omega ^{3},\dots ,\omega ^{\omega },\dots ,\omega ^{\omega ^{\omega }},\dots ,\varepsilon _{0},...}$

В данном случае сложение и умножение не обладают свойством коммутативности: так, ${\displaystyle 1+\omega }$ совпадает с ${\displaystyle \omega }$, но отличается от ${\displaystyle \omega +1}$; аналогично ${\displaystyle 2\cdot \omega =\omega }$, но не равно ${\displaystyle \omega \cdot 2}$. Множество всех счетных ординалов образует первое несчетное порядковое число ${\displaystyle \omega _{1}}$, соответствующее кардинальному числу ${\displaystyle \aleph _{1}}$ (следующее число после ${\displaystyle \aleph _{0}}$). Вполне упорядоченные кардинальные числа отождествляются с их начальными ординалами, то есть минимальными ординалами соответствующей мощности. Мощность порядкового числа задает между классами порядковых и кардинальных чисел соответствие по типу «многие к одному».

Обычно произвольный ординал ${\displaystyle \alpha }$ определяется как порядковый тип множества ординалов, строго меньших ${\displaystyle \alpha }$. Данное свойство позволяет представить любое порядковое число в виде множества ординалов, строго меньших его самого. Все порядковые числа можно разбить на три категории: нуль, следующее порядковое число и предельное порядковое число (последние различаются своей конфинальностью). Для заданного класса порядковых чисел можно указать его ${\displaystyle \alpha }$-й элемент — иначе говоря, элементы класса можно проиндексировать (сосчитать). Такой класс будет замкнутым и неограниченным при условии, что функция индексирования непрерывна и никогда не останавливается. Нормальная форма Кантора позволяет единственным образом представить любое порядковое число в виде конечной суммы порядковых степеней ${\displaystyle \omega }$. Тем не менее, такая форма не может использоваться в качестве основы для универсальной системы обозначения порядковых чисел из-за наличия в ней автореферентных представлений: например, ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\varepsilon _{0}}}$.

Можно определять все более крупные порядковые числа, однако по мере роста их описание усложняется. Любое порядковое число можно представить в виде топологического пространства, приписав ему порядковую топологию.

Такая топология будет дискретной, тогда и только тогда, когда соответствующий ординал не превышает счётного кардинального числа, то есть меньше или равен ${\displaystyle \omega }$. Подмножество ${\displaystyle \omega +1}$ будет открытым в порядковой топологии тогда и только тогда, когда оно является кофинитным или не содержит ${\displaystyle \omega }$ в качестве элемента.